कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 2 MCQ – पूर्णांकों के साथ संक्रियाएँ

−4 और −3 के लिए:
योगफल = −4 + (−3) = −7
अंतर = −4 − (−3) = −4 + 3 = −1
दोनों शर्तें पूरी होती हैं। संख्याओं का क्रम बदलने पर योगफल वही रहेगा, लेकिन अंतर 1 हो जाएगा।

दाईं ओर का विस्थापन धनात्मक और बाईं ओर का ऋणात्मक है।
अंतिम स्थिति = 5 + (−7) = −2
बाईं ओर की 7 इकाइयों में से 5 इकाइयाँ दाईं ओर के विस्थापन को समाप्त करती हैं। सिक्का 0 से 2 इकाई बाईं ओर पहुँचता है।

दूसरे विस्थापन को b मानने पर:
−4 + b = 5
b = 5 − (−4) = 9
−4 से 0 तक आने में 4 इकाई और 0 से 5 तक जाने में 5 इकाई लगती हैं। दोनों विस्थापन दाईं ओर हैं।

विस्थापनों को लगातार दो-दो पदों के समूह में रखने पर:
(1 − 2) + (3 − 4) + (5 − 6) + (7 − 8) + (9 − 10)
= −1 − 1 − 1 − 1 − 1
= −5
अतः सिक्का 0 से 5 इकाई बाईं ओर पहुँचेगा।

किसी पूर्णांक को घटाना उसके योज्य व्युत्क्रम को जोड़ने के बराबर है। −12 का योज्य व्युत्क्रम 12 है।
4 − (−12) = 4 + 12 = 16
यहाँ ऋणात्मक संख्या घटाई गई है, इसलिए 4 में 12 जोड़ा जाता है।

हर शून्य युग्म में एक धनात्मक और एक ऋणात्मक टोकन होता है। उसे जोड़ने से कुल मान नहीं बदलता।
अतिरिक्त धनात्मक टोकन = 18 − 7 = 11
इसलिए 11 शून्य युग्म चाहिए। 18 धनात्मक टोकन हटने के बाद 11 ऋणात्मक टोकन बचेंगे।

हर बार थैले में −2 जुड़ता है।
कुल मान = (−2) + (−2) + (−2) + (−2)
= 4 × (−2) = −8
थैले में 8 ऋणात्मक टोकन होंगे और उन्हें निरस्त करने वाला कोई धनात्मक टोकन नहीं होगा।

2 शून्य युग्मों में से 2 ऋणात्मक टोकन हटाने पर 2 धनात्मक टोकन बचते हैं। ऐसा 4 बार करने पर:
बचे धनात्मक टोकन = 4 × 2 = 8
इसलिए (−4) × (−2) = 8 है। दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल धनात्मक होता है।

गुणकों के परिमाण 123 और 456 हैं, इसलिए गुणनफल का परिमाण 56088 रहेगा। दोनों गुणक ऋणात्मक हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक होगा।
(−123) × (−456) = 56088
इस प्रकार पूरा गुणन दोबारा किए बिना उत्तर मिल जाता है।

पहले गुणनफल −12, −9, −6 और −3 हैं।
−9 − (−12) = 3
−6 − (−9) = 3
इसलिए हर अगला गुणनफल पिछले गुणनफल से 3 अधिक है। यही प्रतिरूप 0 और धनात्मक गुणनफलों तक चलता है।

−1 से गुणा करने पर पूर्णांक का योज्य व्युत्क्रम मिलता है।
(−1) × 5 = −5 और (−1) × (−5) = 5
a = 0 होने पर गुणनफल 0 रहता है। इसलिए हर पूर्णांक के लिए (−1) × a = −a है।

यहाँ केवल दोनों गुणकों का क्रम बदला गया है।
(−30) × 12 = −360
12 × (−30) = −360
क्रम बदलने पर गुणनफल समान है। a × b = b × a को गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म कहते हैं।

सही उत्तरों के अंक = 30 × 5 = 150
गलत उत्तरों के अंक = 20 × (−2) = −40
कुल अंक = 150 + (−40) = 110
गलत उत्तरों के ऋणात्मक अंक कुल अंकों को कम करते हैं।

नीचे की ओर विस्थापन ऋणात्मक है।
45 मिनट में विस्थापन = 45 × (−3) = −135 m
अंतिम स्थिति = 15 + (−135) = −120 m
लिफ्ट अपनी शुरुआती स्थिति से नीचे उतरकर भूमि की सतह से 120 m नीचे पहुँचती है।

केवल एक गुणक ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक होगा।
8 × 14 = 112
112 × 18 = 2016
2016 × (−15) = −30240
इस प्रकार पहले परिमाणों का गुणन करके फिर उचित ऋण चिह्न लगाने पर उत्तर मिलता है।

भाग की जाँच गुणन से की जा सकती है।
(−4) × 25 = −100
इसलिए (−100) ÷ (−4) = 25
भाज्य और भाजक दोनों ऋणात्मक हैं, इसलिए भागफल धनात्मक है। उनके परिमाणों का भाग 100 ÷ 4 = 25 है।

तापमान में कुल परिवर्तन = 10 × (−5) = −50°C
अंतिम तापमान = 32 + (−50) = −18°C
कुल गिरावट 32°C से अधिक है, इसलिए तापमान 0°C से नीचे चला जाता है और अंत में −18°C होता है।

सफेद सीमेंट पर लाभ = 3000 × ₹8 = ₹24000
सामान्य सीमेंट पर हानि = 5000 × ₹25 = ₹125000
कुल परिणाम = ₹24000 − ₹125000 = −₹101000
ऋणात्मक परिणाम हानि दर्शाता है। इसलिए कंपनी को ₹101000 की हानि होगी।

सामान्य सीमेंट पर कुल हानि = 6400 × ₹25 = ₹160000
हानि की भरपाई के लिए सफेद सीमेंट पर इतना ही लाभ चाहिए।
आवश्यक बोरियाँ = 160000 ÷ 8 = 20000
तब धनात्मक लाभ और ऋणात्मक हानि एक-दूसरे को निरस्त कर देंगे।

भाज्य = भागफल × भाजक
x = 7 × (−8) = −56
जाँच: (−56) ÷ (−8) = 7
भाज्य और भाजक दोनों ऋणात्मक होने के कारण उनका भागफल धनात्मक है। अतः x = −56 रखने पर दी गई समानता सही है।

साहचर्य गुणधर्म में गुणकों का क्रम बदले बिना उनका समूहन बदलता है।
बायाँ पक्ष = (−15) × 4 = −60
दायाँ पक्ष = 5 × (−12) = −60
दोनों ओर समान गुणनफल है, चाहे पहले दो गुणकों का गुणन करें या बाद के दो का।

−1 के दो गुणकों का गुणनफल 1 होता है।
(−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1)
= 1 × 1 × (−1) = −1
गुणकों की संख्या विषम है, इसलिए दो-दो के युग्म बनाने पर एक ऋणात्मक गुणक बच जाता है।

कोष्ठक के बाहर का −2 अंदर के दोनों पदों से गुणा होगा।
(−2) × (4 + (−3)) = (−2) × 4 + (−2) × (−3)
= −8 + 6 = −2
पहले कोष्ठक हल करने पर भी (−2) × 1 = −2 मिलता है।

नए व्यंजक का हर पद पुराने व्यंजक के संबंधित पद का योज्य व्युत्क्रम है। इसलिए नया व्यंजक पुराने व्यंजक को −1 से गुणा करने पर मिलता है।
नया मान = (−1) × (−4) = 4
सभी पदों का योग दोबारा निकालना आवश्यक नहीं है।

परिणाम = (−10) + (−12) − (−9)
= −22 + 9
= −13
यहाँ −9 घटाने का अर्थ 9 जोड़ना है। −9 को सीधे जोड़ने पर परिणाम अलग होगा, क्योंकि वह मशीन के a + b − c नियम के अनुसार नहीं होगा।

सही उत्तरों के अंक = 15 × 4 = 60
कटे हुए अंक = 60 − 40 = 20
हर गलत उत्तर पर 2 अंक कटे।
गलत उत्तर = 20 ÷ 2 = 10
इस प्रकार अनीता ने कुल 15 + 10 = 25 प्रश्न किए।

−3, −2 और −1 क्रमागत पूर्णांक हैं।
(−3) × (−2) = 6
6 × (−1) = −6
पहले दो ऋणात्मक गुणकों का गुणनफल धनात्मक होता है। तीसरे ऋणात्मक गुणक से गुणा करने पर परिणाम ऋणात्मक हो जाता है।

10 धनात्मक सिक्कों का मान = 10 × 13 = 130 पिब्स
5 ऋणात्मक सिक्कों का मान = 5 × (−9) = −45 पिब्स
कुल मान = 130 + (−45) = 85 पिब्स
इसलिए ये सिक्के मिलकर आवश्यक धनात्मक राशि बनाते हैं।

भाज्य = 280 × (−7) = −1960
भाजक = (−8) × (−35) = 280
भागफल = −1960 ÷ 280 = −7
भाजक दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल है, इसलिए धनात्मक है। ऋणात्मक भाज्य को धनात्मक भाजक से भाग देने पर ऋणात्मक उत्तर मिलता है।

−547 = −548 + 1 है। बंटन गुणधर्म से:
(−547) × 972 = ((−548) + 1) × 972
= (−548) × 972 + 972
= −532656 + 972 = −531684
पहला गुणक 1 बढ़ने से गुणनफल 972 बढ़ा है।