कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 1 अध्याय 1 MCQ – हमारे आस-पास की बड़ी संख्याएँ

पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99,999 है। इसमें 1 जोड़ने पर छह अंकों की सबसे छोटी संख्या मिलती है।
99,999 + 1 = 1,00,000
इसलिए छह अंकों की सबसे छोटी संख्या एक लाख है।

100 वर्षों में दिनों की संख्या = 365 × 100 = 36,500
चखी जाने वाली किस्में = 36,500 × 3
= 1,09,500
यह संख्या एक लाख से 9,500 अधिक है। इसलिए इस दर से एक लाख अलग-अलग किस्में चखने के लिए 100 वर्ष पर्याप्त होंगे।

जनसंख्या में वृद्धि = बाद की जनसंख्या − पहले की जनसंख्या
= 1,06,000 − 75,000
= 31,000
जाँच के लिए 75,000 में 31,000 जोड़ने पर 1,06,000 मिलता है। दिए गए अनुमानित आँकड़ों के अनुसार वृद्धि 31,000 है।

पचास लाख = 50,00,000 और पाँच हजार = 5,000
इसलिए संख्या = 50,00,000 + 5,000 + 50
= 50,05,050
भारतीय पद्धति के अल्पविराम लाख, हजार और अंतिम तीन अंकों के समूहों को अलग करके संख्या पढ़ना सरल बनाते हैं।

12,78,830 में 7 दस हजार के स्थान पर है।
7 का स्थानीय मान = 7 × 10,000
= 70,000
अंक वही होने पर भी उसका स्थानीय मान स्थान के अनुसार बदलता है। यहाँ उसका मान सात हजार नहीं, सत्तर हजार है।

हर बार बटन दबाने पर संख्या 1,000 बढ़ती है।
बटन दबाने की संख्या = 1,00,000 ÷ 1,000
= 100
जाँच: 100 × 1,000 = 1,00,000। इस प्रकार सौ हजार मिलकर एक लाख बनाते हैं।

हर बार 100 जुड़ता है, इसलिए 582 बार दबाने का अर्थ 100 के 582 समूह जोड़ना है।
प्राप्त संख्या = 582 × 100
= 58,200
100 से गुणा करने पर प्रत्येक अंक का स्थानीय मान सौ गुना हो जाता है।

(3 × 1,000) + (20 × 100) + 72
= 3,000 + 2,000 + 72
= 5,072
यहाँ 3 हजार और 20 सैकड़े मिलकर 5 हजार बनाते हैं। एक ही संख्या को अलग-अलग स्थानीय मानों के समूहों में लिखना संभव है।

40,629 = 4 × 10,000 + 6 × 100 + 2 × 10 + 9 × 1
कुल बार = 4 + 6 + 2 + 9 = 21
किसी बड़े स्थान के एक बटन की जगह छोटे स्थान का बटन कई बार दबाने से कुल संख्या बढ़ेगी। इसलिए 21 न्यूनतम है।

92,100 = 9 × 10,000 + 21 × 100
कुल बार = 9 + 21 = 30
+10,000 को दस बार दबाने पर संख्या लक्ष्य से बड़ी हो जाएगी। इसे नौ से कम बार दबाने पर +100 को बहुत अधिक बार दबाना पड़ेगा।

1 मिलियन = 10,00,000
1 करोड़ = 1,00,00,000
मिलियन की संख्या = 1,00,00,000 ÷ 10,00,000 = 10
इसलिए एक करोड़ और दस मिलियन एक ही संख्या के दो नाम हैं। इनके मान में कोई अंतर नहीं है।

अंतरराष्ट्रीय पद्धति में दाईं ओर से तीन-तीन अंकों के समूह बनते हैं।
246813579 → 246 | 813 | 579
इसलिए सही लेखन 246,813,579 है। भारतीय पद्धति में पहले तीन अंकों के बाद दो-दो अंकों के समूह बनते हैं।

1 बिलियन = 1,000,000,000
1 लाख = 100,000
लाखों की संख्या = 1,000,000,000 ÷ 100,000
= 10,000
इसलिए दस हजार लाख मिलकर एक बिलियन बनाते हैं। यही संख्या एक अरब या सौ करोड़ भी कहलाती है।

1 मिलियन = 10 लाख
5 मिलियन = 50 लाख
500 लाख > 50 लाख
इसलिए 500 लाख > 5 मिलियन। दोनों संख्याओं की तुलना करने से पहले उन्हें एक ही इकाई, यहाँ लाख, में लिखने से तुलना स्पष्ट हो जाती है।

संख्या = 1,00,00,000 + 1,00,000 + 1,000 + 10
= 1,01,01,010
करोड़, लाख, हजार और इकाइयों के मानों को जोड़ने पर यह संख्या मिलती है। जिन स्थानों पर कोई मात्रा नहीं है, वहाँ शून्य लिखा जाता है।

14 पैकेटों में मिठाइयाँ = 14 × 50 = 700
यह 732 से कम है।
15 पैकेटों में मिठाइयाँ = 15 × 50 = 750
इसलिए 750 मिठाइयाँ खरीदनी होंगी। इससे सबको एक मिठाई मिलेगी और 750 − 732 = 18 मिठाइयाँ बचेंगी।

फोन मिलाने के लिए सही फोन नंबर के सभी अंक उसी क्रम में चाहिए। किसी अंक को बदलने या संख्या को सन्निकटित करने से इच्छित व्यक्ति से संपर्क नहीं होगा। जनसंख्या, ऊँचाई या दूरी का मोटा अनुमान बताने में सन्निकट मान उपयोगी हो सकता है।

यह संख्या 3,87,00,000 और 3,88,00,000 के बीच है।
3,87,69,957 − 3,87,00,000 = 69,957
3,88,00,000 − 3,87,69,957 = 30,043
दूसरा अंतर छोटा है। इसलिए निकटतम लाख में सन्निकट मान 3,88,00,000 है।

योग = 4,63,128 + 4,19,682 = 8,82,810
9,00,000 से अंतर = 17,190
8,00,000 से अंतर = 82,810
17,190 छोटा अंतर है। इसलिए योग 9,00,000 के अधिक निकट है और उससे 17,190 कम है।

जनसंख्या में वृद्धि = 31,15,431 − 25,38,473
= 5,76,958
यह 5,00,000 से 76,958 अधिक और 6,00,000 से 23,042 कम है।
इसलिए वृद्धि का निकटतम लाख में सन्निकट मान 6 लाख है।

25 = 100/4 का उपयोग करने पर गुणा सरल हो जाता है।
824 × 25 = (824 ÷ 4) × 100
= 206 × 100
= 20,600
पहले 4 से भाग देने और फिर 100 से गुणा करने पर वही गुणनफल मिलता है।

125 = 1,000/8
72 × 125 = (72 ÷ 8) × 1,000
= 9 × 1,000
= 9,000
यहाँ 72 को 8 से पूरा भाग दिया जा सकता है। इसलिए इस रूप में गणना करने से बड़ा गुणा करने की आवश्यकता नहीं पड़ती।

गुणनखंडों का क्रम और समूह बदलने पर गुणनफल नहीं बदलता।
125 × 40 × 8 × 25
= (125 × 8) × (40 × 25)
= 1,000 × 1,000
= 10,00,000
दो सुविधाजनक समूह बनाने से गणना सरल हो जाती है।

सबसे छोटा गुणनफल = 100 × 100 = 10,000
सबसे बड़ा गुणनफल = 999 × 999 = 9,98,001
पहले में 5 और दूसरे में 6 अंक हैं। सभी संभव गुणनफल इन्हीं सीमाओं के बीच होंगे, इसलिए उनमें 5 या 6 अंक हो सकते हैं।

सबसे छोटा गुणनफल = 10,000,000 × 100 = 1,000,000,000
इसमें 10 अंक हैं। दोनों संख्याएँ क्रमशः 100,000,000 और 1,000 से छोटी हैं, इसलिए गुणनफल 100,000,000,000 से छोटा होगा।
उदाहरण: 99,999,999 × 999 = 99,899,999,001 में 11 अंक हैं। अतः 10 या 11 अंक संभव हैं।

कुल व्यक्तियों की संख्या = बसों की संख्या × प्रत्येक बस की क्षमता
= 1,00,000 × 50
= 50,00,000
अर्थात एक लाख बसों में पचास लाख व्यक्ति बैठ सकते हैं, यदि प्रत्येक बस की सभी 50 सीटें भरी हों।

कुल भार = 1,00,000 × 5 = 5,00,000 ग्राम
1 किलोग्राम = 1,000 ग्राम
कुल भार = 5,00,000 ÷ 1,000
= 500 किलोग्राम
पहले सभी शीटों का भार ग्राम में मिला, फिर उसे किलोग्राम में बदला गया।

5 के गुणज का अंतिम अंक 0 या 5 होता है। सभी अंकों को घटते क्रम में रखने पर 9876543210 मिलता है।
इसका अंतिम अंक 0 है, इसलिए यह 5 का गुणज भी है।
यह व्यवस्था सबसे बड़े अंक को सबसे बड़े स्थान पर रखती है।

1 से 9 तक कुल 9 अंक हैं।
10 से 99 तक अंक = 90 × 2 = 180
शेष अंक = 1,000 − 9 − 180 = 811
811 = 270 × 3 + 1
100 से 369 तक 270 संख्याएँ हैं। अगला अंक 370 का पहला अंक, अर्थात 3 है।

नई संख्या बड़ी बनाने के लिए बाईं ओर के बड़े अंकों को पहले बनाए रखना होगा। 4 और 2 दोनों 1 से बड़े हैं, लेकिन अगला अंक 0 छोटा है।
इसलिए 1 को 2 और 0 के बीच रखने पर 421019 मिलता है।