Class 6 Maths Ganita Prakash Chapter 5 MCQs in Hindi – अभाज्य समय

3 और 5 के शुरुआती सार्व गुणज 15, 30, 45, 60, … हैं।
ये 15 के गुणज हैं।
दसवाँ सार्व गुणज = 15 × 10 = 150।
इसलिए दसवीं बार ‘इडली-वड़ा’ संख्या 150 पर कहा जाएगा।

‘इडली’ उन सभी संख्याओं पर कही जाएगी जो 3 के गुणज हैं। इनमें ‘इडली-वड़ा’ वाली संख्याएँ भी शामिल हैं।
गुणज हैं 3, 6, 9, …, 90।
कुल बार = 90 ÷ 3 = 30।

28 के गुणनखंड = 1, 2, 4, 7, 14, 28।
70 के गुणनखंड = 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70।
सार्व गुणनखंड 1, 2, 7 और 14 हैं। इनमें सबसे बड़ा 14 है।
28 = 14 × 2 और 70 = 14 × 5।

40 × 8 = 320,
40 × 9 = 360,
40 × 10 = 400।
पिछला गुणज 280, 310 से छोटा और अगला गुणज 440, 410 से बड़ा है। इसलिए इस अंतराल के सभी गुणज 320, 360 और 400 हैं।

6 के सभी गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं।
इनका योग = 1 + 2 + 3 + 6 = 12।
6 का दुगुना = 2 × 6 = 12।
दोनों बराबर हैं, इसलिए 6 एक संपूर्ण संख्या है।

अभाज्य संख्या केवल 1 और स्वयं उस संख्या से पूर्णतः विभाजित होती है।
उदाहरण के लिए, 7 के गुणनखंड केवल 1 और 7 हैं।
इसलिए प्रत्येक अभाज्य संख्या के ठीक 2 धनात्मक गुणनखंड होते हैं।

1 का केवल एक गुणनखंड है: 1।
अभाज्य संख्या के ठीक 2 गुणनखंड और भाज्य संख्या के 2 से अधिक गुणनखंड होते हैं।
1 इनमें से किसी भी शर्त को पूरा नहीं करती। इसलिए 1 न अभाज्य है, न भाज्य।

2 के केवल दो गुणनखंड 1 और 2 हैं, इसलिए यह अभाज्य है। यह सम भी है।
2 से बड़ी हर सम संख्या 1 और स्वयं के अलावा 2 से भी विभाजित होती है।
इसलिए दूसरी कोई सम संख्या अभाज्य नहीं है।

22, 24, 26, 28 और 30 सम भाज्य संख्याएँ हैं।
21 = 3 × 7, 25 = 5 × 5 और 27 = 3 × 9 भी भाज्य हैं।
23 और 29 के केवल दो-दो गुणनखंड हैं: 1 और स्वयं संख्या। इसलिए अभाज्य संख्याएँ 23 और 29 हैं।

41 और 43 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं।
43 − 41 = 2।
इसलिए 41 और 43 जुड़वाँ अभाज्य युग्म हैं। 21 तथा 51 भाज्य हैं और 29 व 33 का अंतर 4 है।

4 के गुणनखंड 1, 2, 4 और 9 के गुणनखंड 1, 3, 9 हैं।
दोनों का एकमात्र सार्व गुणनखंड 1 है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।
दोनों के दो से अधिक गुणनखंड हैं, इसलिए 4 और 9 स्वयं भाज्य संख्याएँ हैं।

4 के गुणज 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … हैं।
9 के गुणज 9, 18, 27, 36, … हैं।
दोनों सूचियों का पहला समान धनात्मक गुणज 36 है।
4 और 9 सह-अभाज्य हैं, इसलिए यह उनके गुणनफल 4 × 9 के बराबर है।

खूँटियों का क्रम होगा:
1 → 8 → 5 → 2 → 9 → 6 → 3 → 10 → 7 → 4 → 1।
फिर से 1 आने से पहले सभी 10 खूँटियाँ आ गईं।
10 और 7 सह-अभाज्य हैं, इसलिए इस अंतर से हर खूँटी तक पहुँचते हैं।

56 = 4 × 14
= (2 × 2) × (2 × 7)
= 2 × 2 × 2 × 7।
अब प्रत्येक गुणनखंड अभाज्य है। अन्य विकल्पों में 4 या 14 जैसे भाज्य गुणनखंड बचे हैं, इसलिए वे अभाज्य गुणनखंडन नहीं हैं।

संख्या = 2 × 3 × 3 × 11
= 2 × 9 × 11
= 18 × 11
= 198।
3 दो बार आता है, इसलिए केवल एक 3 लेकर 66 प्राप्त करना सही नहीं होगा।

1955 ÷ 5 = 391।
391 = 17 × 23।
इसलिए 1955 = 5 × 17 × 23।
5, 17 और 23 तीनों अभाज्य हैं और 30 से छोटी हैं। जाँच: 5 × 391 = 1955।

सबसे छोटी संख्या बनाने के लिए चार सबसे छोटी अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 और 7 लेता हूँ।
संख्या = 2 × 3 × 5 × 7
= 6 × 35
= 210।
किसी बड़ी अभाज्य संख्या या अतिरिक्त गुणनखंड का प्रयोग करने से गुणनफल बढ़ जाएगा।

56 = 2 × 2 × 2 × 7 और 25 = 5 × 5।
दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड साथ रखने पर:
56 × 25 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7।
गुणनखंडों का क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता।

12 से विभाजित होने के लिए 42 के अभाज्य गुणनखंडन में 2, 2 और 3 सभी चाहिए।
42 = 2 × 3 × 7 में केवल एक 2 है।
इसलिए 12 का पूरा अभाज्य गुणनखंडन 42 में शामिल नहीं है और 42, 12 से पूर्णतः विभाजित नहीं होती।

57 = 3 × 19 और 85 = 5 × 17।
इनका कोई सार्व अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए एकमात्र सार्व गुणनखंड 1 है।
अन्य युग्मों में क्रमशः 3, 11 और 7 सार्व गुणनखंड हैं। इसलिए सह-अभाज्य युग्म 57 और 85 है।

5 से विभाजित होने वाली संख्या का इकाई अंक 0 या 5 होता है।
399 से पीछे आने वाली ऐसी पहली संख्या 395 है।
395 = 5 × 79।
400 भी 5 का गुणज है, लेकिन वह 399 से छोटी नहीं है।

4 की विभाज्यता जाँचने के लिए अंतिम दो अंकों से बनी संख्या देखता हूँ।
8536 के अंतिम दो अंक 36 बनाते हैं।
36 ÷ 4 = 9, शेषफल 0।
इसलिए 8536 भी 4 से पूर्णतः विभाजित होती है। केवल अंतिम अंक देखना पर्याप्त नहीं है।

8 की विभाज्यता जाँचने के लिए अंतिम तीन अंकों की संख्या लेता हूँ।
8552 के अंतिम तीन अंक 552 हैं।
552 = 8 × 69।
इसलिए 8552, संख्या 8 से पूर्णतः विभाजित होती है। केवल अंतिम दो अंक 52 देखकर निर्णय नहीं किया जा सकता।

173 = 10 × 17 + 3।
इसलिए 10 से भाग देने पर भागफल 17 और शेषफल 3 है।
शेषफल 10 से छोटा है। 173 के 170 वाले भाग में 10 पूरे-पूरे समा जाता है और 3 बचता है।

8 से विभाजित होने पर संख्या के गुणनखंडन में 2 × 2 × 2 होगा। इससे वह 2 और 4 से भी विभाजित होगी।
5 से विभाजित होने पर गुणनखंड 5 भी होगा।
2 और 5 मिलकर 10 बनाते हैं। इसलिए 5 और 8 की जाँच सभी पाँच के लिए पर्याप्त है।

इस अंतराल का पहला अधिवर्ष 2024 और अंतिम 2096 है।
अंतर = 2096 − 2024 = 72 वर्ष।
4 वर्ष के अंतरालों की संख्या = 72 ÷ 4 = 18।
पहले वर्ष को भी गिनने पर कुल अधिवर्ष = 18 + 1 = 19।

चार अंकों की पैलिंड्रोम का पहला और अंतिम अंक समान होता है। 1 से शुरू होने पर अंतिम अंक 1 होगा, इसलिए वह 4 से विभाजित नहीं हो सकती।
2 से शुरू होने वाली शुरुआती पैलिंड्रोम 2002 और 2112 हैं।
02, 4 से विभाजित नहीं है; 12 ÷ 4 = 3। इसलिए सबसे छोटी संख्या 2112 है।

2 + 6 = 8 और 8 = 4 × 2, इसलिए कथन कभी सत्य होता है।
लेकिन 2 + 4 = 6 और 6, 4 का गुणज नहीं है।
दोनों उदाहरणों में संख्याएँ सम हैं। इसलिए कथन कभी-कभी सत्य है, हमेशा नहीं।

16 × 625 = 10,000।
16 का इकाई अंक 6 और 625 का इकाई अंक 5 है; दोनों में कोई भी 0 नहीं है।
अन्य युग्मों का गुणनफल भी 10,000 है, लेकिन उनमें कम-से-कम एक संख्या 0 पर समाप्त होती है।

पहली दो संख्याओं का गुणनफल = 5 × 5 = 25।
तीसरी संख्या = 75 ÷ 25 = 3।
जाँच: 5 × 5 × 3 = 75।
3 अभाज्य है, इसलिए यह पंक्ति के गुणनफल और अभाज्य संख्या होने की दोनों शर्तों को पूरा करती है।