Class 6 Maths Ganita Prakash Chapter 3 MCQs in Hindi – संख्याओं का खेल

पंक्ति के छोर पर खड़े बच्चे का केवल एक पड़ोसी होता है।
यदि वह पड़ोसी उससे लंबा है, तो लंबे पड़ोसियों की संख्या 1 होगी।
इसलिए छोर पर खड़ा बच्चा अधिकतम 1 कह सकता है।

पहले चार बच्चों के दाईं ओर वाला बच्चा उनसे लंबा है। उनके बाईं ओर का बच्चा, यदि है, उनसे छोटा है। इसलिए पहले चार बच्चे 1 कहते हैं।
अंतिम बच्चा सबसे लंबा है, इसलिए वह 0 कहता है।
क्रम = 1, 1, 1, 1, 0।

6828 > 670; छोर पर होने से 6828 का यही एक पड़ोसी है।
9435 > 670 और 9435 > 3780।
8000 > 7308 और 8000 > 5583।
बाकी प्रत्येक संख्या का कम-से-कम एक पड़ोसी उससे बड़ा है। इसलिए महाकोष्ठों की संख्याएँ 6828, 9435 और 8000 हैं।

दो पास-पास के कोष्ठ दोनों महाकोष्ठ नहीं हो सकते, क्योंकि दोनों की संख्या एक-दूसरे से बड़ी नहीं हो सकती।
बड़ी और छोटी संख्याएँ बारी-बारी रखने पर स्थान 1, 3, 5, 7 और 9 महाकोष्ठ बन सकते हैं।
इसलिए अधिकतम 5 महाकोष्ठ बनेंगे।

8632 > 4795, 8632 > 1944,
8632 > 4580 और 8632 > 8280।
अर्थात 8632 की संख्या उसके चारों समीपवर्ती कोष्ठों की संख्याओं से बड़ी है। इसलिए यह कोष्ठ महाकोष्ठ है; संख्या का सम होना इसका कारण नहीं है।

कुल अंतर = 2020 − 2010 = 10।
एक अंतराल का मान = 10 ÷ 2 = 5।
बीच की संख्या = 2010 + 5 = 2015।
2015 से 2020 का अंतर भी 5 है, इसलिए दोनों अंतराल बराबर हैं।

सबसे छोटी तीन अंकों की संख्या 100 और सबसे बड़ी 999 है।
दोनों सिरों की संख्याओं को गिनने पर कुल संख्याएँ = 999 − 100 + 1 = 900।
1 जोड़ने से आरंभ की संख्या 100 भी गिनती में शामिल हो जाती है।

एक अंक की संख्या का अधिकतम अंक-योग 9 है, इसलिए दो अंक चाहिए।
इकाई का अंक अधिकतम 9 हो सकता है। अतः दहाई का सबसे छोटा संभव अंक = 14 − 9 = 5।
संख्या = 59 और 5 + 9 = 14।

सबसे बड़ी संख्या के लिए सबसे बाएँ का अंक 9 रखता हूँ।
शेष अंकों का योग = 14 − 9 = 5।
अगले स्थान पर 5 और बाकी स्थानों पर 0 रखने से 95,000 मिलता है।
9 + 5 + 0 + 0 + 0 = 14।

इकाई के स्थान पर 7 वाली संख्याएँ 7, 17, …, 97 हैं: कुल 10 बार।
दहाई के स्थान पर 7 वाली संख्याएँ 70 से 79 हैं: कुल 10 बार।
अंक 7 की कुल संख्या = 10 + 10 = 20।
77 में 7 दो अलग स्थानों पर है, इसलिए दो बार गिना गया है।

तीन अंकों की पैलिंड्रोम में पहला और अंतिम अंक समान होता है।
पहले अंक के लिए 3 विकल्प हैं: 1, 2 या 3। बीच के अंक के लिए भी 3 विकल्प हैं।
कुल पैलिंड्रोम = 3 × 3 = 9।

48 + 84 = 132।
132 पैलिंड्रोम नहीं है, इसलिए इसके अंकों को उलटकर 231 जोड़ता हूँ।
132 + 231 = 363।
363 को बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ पढ़ने पर एक ही संख्या मिलती है। इसलिए पहली पैलिंड्रोम 363 है।

इकाई का अंक विषम है। सैकड़े का अंक इकाई के अंक का 4 गुना होगा और अधिकतम 9 हो सकता है। इसलिए इकाई का अंक केवल 1 हो सकता है।
दहाई = 2 × 1 = 2; सैकड़ा = 2 × 2 = 4।
पैलिंड्रोम होने से संख्या 12,421 है।

पाँच अंकों की सबसे छोटी पैलिंड्रोम 10,001 है। 10,000 को उलटने पर वही संख्या नहीं मिलती।
सबसे बड़ी पाँच अंकों की पैलिंड्रोम 99,999 है।
योग = 10,001 + 99,999 = 1,10,000।

10 बजे के घंटे में पैलिंड्रोम समय 10:01 ही है। अगला ऐसा समय 11:11 होगा।
10:01 से 11:01 तक = 60 मिनट।
11:01 से 11:11 तक = 10 मिनट।
कुल समय = 60 + 10 = 70 मिनट।

6382 के अंकों का घटता क्रम 8, 6, 3, 2 है, इसलिए सबसे बड़ी संख्या 8632 है।
बढ़ता क्रम 2, 3, 6, 8 है, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2368 है।
अंतर = 8632 − 2368 = 6264।

6174 के अंकों से सबसे बड़ी संख्या 7641 और सबसे छोटी संख्या 1467 बनती है।
7641 − 1467 = 6174।
प्रक्रिया दोहराने पर फिर 6174 ही मिलता है। इसलिए चार अंकों का कापरेकर स्थिरांक 6174 है।

495 के अंकों को घटते क्रम में रखने पर 954 और बढ़ते क्रम में रखने पर 459 मिलता है।
954 − 459 = 495।
इसलिए 495 पर यह प्रक्रिया दोहराने से फिर 495 मिलता है।

घटते क्रम में अंक रखने पर सबसे बड़ी संख्या 7432 बनती है।
बढ़ते क्रम में अंक रखने पर सबसे छोटी संख्या 2347 बनती है।
अंतर = 7432 − 2347 = 5085।
9779 इन संख्याओं का योग है, अंतर नहीं।

75,000 से छोटी सबसे बड़ी ऐसी संख्या का पहला अंक 7 होगा।
दूसरा अंक विषम और 5 से छोटा चाहिए, इसलिए सबसे बड़ा संभव अंक 3 है।
बाकी स्थानों पर सबसे बड़ा विषम अंक 9 रखने से संख्या 73,999 बनती है।

1000 से छोटी उपलब्ध संख्या केवल 400 है।
400 + 400 = 800 और 400 + 400 + 400 = 1200; इसलिए 1000 नहीं बनता।
बाकी संख्याएँ बनती हैं: 14,000 = 35 × 400; 15,000 = 10 × 1500; 16,000 = 40 × 400।

चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है।
अधिकतम योग = 9999 + 9999 = 19,998।
इससे पता चलता है कि चार अंकों की दो संख्याएँ जोड़कर छह अंकों की संख्या नहीं मिल सकती, क्योंकि अधिकतम योग भी केवल पाँच अंकों का है।

सबसे छोटा योग = 10,000 + 10,000 = 20,000, जिसमें 5 अंक हैं।
सबसे बड़ा योग = 99,999 + 99,999 = 1,99,998, जिसमें 6 अंक हैं।
उदाहरण: 60,000 + 40,000 = 1,00,000।
इसलिए योग में 5 या 6 अंक हो सकते हैं।

अंतर को सबसे छोटा रखने के लिए पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या 10,000 लेता हूँ और उसमें से दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99 घटाता हूँ।
सबसे छोटा अंतर = 10,000 − 99 = 9901।
यह भी चार अंकों की संख्या है।

40 वाली संख्याओं का योग = 12 × 40 = 480।
50 वाली संख्याओं का योग = 10 × 50 = 500।
कुल योग = 480 + 500 = 980।
समान संख्याओं को समूह में गुणा करने से एक-एक करके जोड़ने की आवश्यकता नहीं पड़ी।

17 एक विषम संख्या है, इसलिए इसे आधा नहीं करना है।
अगली संख्या = 3 × 17 + 1
= 51 + 1
= 52।
अब 52 सम है, इसलिए उसके बाद 52 ÷ 2 = 26 आएगा।

64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1।
हर चरण में संख्या सम है, इसलिए उसे 2 से भाग दिया गया है।
इस क्रम में 6 तीर अर्थात 6 बार आधा करने के बाद 1 मिलता है।

कक्षा 6 में विद्यार्थी = 32 + 29 + 35 = 96, जो लगभग 100 है।
कक्षा 6, 7, 8, 9 और 10 मिलाकर 5 कक्षाएँ हैं।
प्रत्येक में लगभग 100 विद्यार्थी मानने पर कुल आकलन = 5 × 100 = 500 विद्यार्थी।

पहली बारी में 1 जोड़ने के बाद लक्ष्य 1, 5, 9, 13, 17 और 21 होंगे। इनके बीच का अंतर 4 है।
दूसरा खिलाड़ी 1, 2 या 3 जोड़े, तो पहला क्रमशः 3, 2 या 1 जोड़ सकता है।
हर जोड़ी में कुल 4 बढ़ने से पहला खिलाड़ी 21 पर पहुँचता है।

पहले 2 जोड़ने से आगे के लक्ष्य 2, 6, 10, 14, 18 और 22 बनते हैं।
दूसरा खिलाड़ी 1, 2 या 3 जोड़े, तो पहला क्रमशः 3, 2 या 1 जोड़कर दोनों चालों का योग 4 बना सकता है।
इस तरह पहला खिलाड़ी 22 पर पहुँचता है।